【模板】完全背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 件物品的体积是 **v_i**，价值是 **w_i**。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 v_i, **w_i**，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N**, V≤1000
0<**v_i, w_i ≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

朴素动态规划O(n³)

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

优化 O(n²)

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

状态压缩

只和01背包问题有遍历顺序的区别

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++) // 顺序遍历
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    
    cout << dp[m] << endl;
    
    return 0;
}