【模板】多重背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

朴素动规

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

二进制优化

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 25000;

int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    int cnt = 0;
    // 将所有物品重新打包分组
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if (s)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }
    
    n = cnt;
    // 变成了01背包问题
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            
    cout << dp[m] << endl;
    
    return 0;
}